Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 5 & 1 & 2 0 & 1 & 0 2 & 1 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & 4 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Développez

$(5 - λ) (4 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$4$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.3

Multipliez

$4$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.2.2

Soustrayez

$4 λ$ de

$- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez

$4$ de

$20$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 16) + 0$

Étape 5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 9 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Étape 5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.1

Associez les termes opposés dans

$0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$ .

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Étape 5.5.1.1

Additionnez

$0$ et

$(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Étape 5.5.1.2

Additionnez

$(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ et

$0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$

Étape 5.5.2

Développez

$(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.2

Multipliez

$- 9 λ$ par

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.3

Multipliez

$16$ par

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.4

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.4.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.4.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

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Étape 5.5.3.4.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.4.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.6

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.6.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.6.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.7

Multipliez

$- 1$ par

$- 9$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Étape 5.5.3.8

Multipliez

$16$ par

$- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 16 λ$

Étape 5.5.4

Additionnez

$λ^{2}$ et

$9 λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 16 λ$

Étape 5.5.5

Soustrayez

$16 λ$ de

$- 9 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ + 16 - λ^{3}$

Étape 5.5.6

Déplacez

$16$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ - λ^{3} + 16$

Étape 5.5.7

Déplacez

$- 25 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - λ^{3} - 25 λ + 16$

Étape 5.5.8

Remettez dans l’ordre

$10 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 10 λ^{2} - 25 λ + 16$